¿Qué es un espacio reflexivo?
Yeray Escobedo
2025-07-06 23:55:45
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Un espacio reflexivo es un espacio en el que la evaluación de funcionales lineales es suficiente para determinar la igualdad de elementos.
Si \( X \) es un espacio reflexivo, \( E \subset X \) es subespacio cerrado entonces \( E \) es reflexivo.
Un espacio reflexivo necesariamente es de Banach.
Pero, ¿un subespacio no cerrado de un espacio de Banach... es completo?
Si \( X \) es separable y reflexivo, entonces \( X^*^*=X \) es separable y de Banach y por tanto \( X^* \) es separable.
Si \( X \) es separable y \( X^* \) no lo es, entonces \( X \) no puede ser reflexivo.
Cristina Benavides
2025-07-06 23:18:10
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Un espacio polinómicamente reflexivo es un espacio de Banach X, en el que el espacio de todos los polinomios en cada grado es un reflexivo.
Dado un funcional multilineal Mn de grado n, se puede definir un polinomio p como o cualquier suma finita de estos elementos.
Si en la suma solo hay n funcionales lineales, se dice que el polinomio es n-homogéneo.
Se define el espacio Pn como compuesto por todos los n polinomios homogéneos.
P1 es idéntico al espacio dual y, por lo tanto, es reflexivo para todas las X reflexivas.
Esto implica que la reflexividad es un requisito previo para la reflexividad polinómica.
En un espacio de Banach reflexivo con la propiedad de aproximación las dos condiciones siguientes son equivalentes:
Toda forma cuadrática es débilmente secuencialmente continua en el origen.
El espacio de Banach de todas las formas cuadráticas es reflexivo.
Las formas cuadráticas son polinomios 2-homogéneos.
La equivalencia mencionada anteriormente también es válida para polinomios n-homogéneos, n=3,4,...
Para espacios , la Pn es reflexiva si y solo si n < p.
Por lo tanto, ningún es polinómicamente reflexivo.
En consecuencia, si un espacio de Banach admite como espacio cociente, no es polinómicamente reflexivo.
Esto hace que los espacios polinómicamente reflexivos sean raros.
El espacio de Tsirelson T* es polinómicamente reflexivo.
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